Η διαφορική γεωμετρία είναι ο κλάδος των προχωρημένων μαθηματικών που έχει πιθανώς περισσότερα ποιοτικά εγχειρίδια από όλα τα άλλα. Έχει μερικά αληθινά κλασικά που όλοι συμφωνούν ότι πρέπει τουλάχιστον να περιηγηθούν. Φαίνεται ότι τον τελευταίο καιρό όλοι και ο ξάδερφός του προσπαθούν να γράψουν το βιβλίο The Great American Differential Geometry Textbook. Δεν είναι πραγματικά δύσκολο να καταλάβει κανείς γιατί: Το θέμα της διαφορικής γεωμετρίας δεν είναι μόνο μια από τις πιο όμορφες και συναρπαστικές εφαρμογές του λογισμού και της τοπολογίας, είναι επίσης μια από τις πιο ισχυρές. Η γλώσσα των πολλαπλών είναι η φυσική γλώσσα των περισσότερων πτυχών και των δύο κλασική και σύγχρονη φυσική – ούτε η γενική σχετικότητα ούτε η σωματιδιακή φυσική μπορούν να εκφραστούν σωστά χωρίς τις έννοιες των διαγραμμάτων συντεταγμένων σε διαφοροποιήσιμες πολλαπλότητες, ομάδες Lie ή δέσμες ινών. Ανυπομονούσα πραγματικά για το ολοκληρωμένο κείμενο που βασίζεται στις διαλέξεις του Cliff Taubes στα Math 230 για το πρώτο έτος μεταπτυχιακού φοιτητή στο μάθημα DG στο Χάρβαρντ, το οποίο έχει διδάξει εντός και εκτός εκεί για πολλά χρόνια. Ένα βιβλίο από αναγνωρισμένο δάσκαλο του θέματος είναι ευπρόσδεκτο, καθώς μπορεί κανείς να ελπίζει ότι θα φέρει την οπτική του ερευνητή στο υλικό.
Λοιπόν, το βιβλίο είναι επιτέλους εδώ και λυπάμαι που αναφέρω ότι είναι λίγο απογοητευτικό. Τα θέματα που καλύπτονται στο βιβλίο είναι οι συνήθεις ύποπτοι για ένα μεταπτυχιακό μάθημα πρώτου έτους, αν και καλύπτονται σε κάπως υψηλότερο επίπεδο από το συνηθισμένο: ομαλές πολλαπλότητες, ομάδες ψεύδους, διανυσματικά πακέτα, μετρήσεις σε διανυσματικά πακέτα, μετρήσεις Riemannian, γεωδαισίες σε πολλαπλές πολλαπλότητες Riemann, κύριος δέσμες, παράγωγα και συνδέσεις συμμεταβλητών, ολονομία, πολυώνυμα καμπυλότητας και χαρακτηριστικές τάξεις, τανυστής καμπυλότητας Riemannian, μιγαδικές πολλαπλότητες, ολομορφικές υποπολλαπλής μιγαδικής πολλαπλότητας και μετρικές Kähler. Το θετικό είναι ότι είναι ΠΟΛΥ καλογραμμένο και καλύπτει ουσιαστικά ολόκληρο το σημερινό τοπίο της σύγχρονης διαφορικής γεωμετρίας. Η παρουσίαση είναι όσο το δυνατόν πιο αυτοτελής, δεδομένου ότι το βιβλίο έχει 298 σελίδες και αποτελείται από 19 κεφάλαια μεγέθους μπουκιάς . Ο καθηγητής Taubes δίνει λεπτομερείς αλλά συνοπτικές αποδείξεις βασικών αποτελεσμάτων, γεγονός που καταδεικνύει την εξουσία του στο θέμα. Άρα ένα τεράστιο ποσό καλύπτεται πολύ αποτελεσματικά αλλά αρκετά καθαρά. Κάθε κεφάλαιο περιέχει μια λεπτομερή βιβλιογραφία για πρόσθετη ανάγνωση, η οποία είναι μια από τις πιο ενδιαφέρουσες πτυχές του βιβλίου – ο συγγραφέας σχολιάζει άλλα έργα και πώς αυτά επηρέασαν την παρουσίασή του. Η ελπίδα του είναι ξεκάθαρα ότι θα εμπνεύσει τους μαθητές του να διαβάσουν τα άλλα προτεινόμενα έργα ταυτόχρονα με τα δικά του, γεγονός που δείχνει εξαιρετικές εκπαιδευτικές αξίες από την πλευρά του συγγραφέα. Δυστυχώς, αυτή η προσέγγιση είναι ένα δίκοπο μαχαίρι, καθώς συμβαδίζει με ένα από τα λάθη του βιβλίου, τα οποία θα μάθουμε στιγμιαία.
Ο Taubes γράφει πράγματι πολύ καλά και χαρίζει έντονο τρόπο στην παρουσίασή του με τις πολλές του ιδέες. Επίσης, έχει πολλά καλά και καλά επιλεγμένα παραδείγματα σε κάθε ενότητα, κάτι που θεωρώ πολύ σημαντικό. Καλύπτει ακόμη και υλικό για πολύπλοκες πολλαπλότητες και τη θεωρία Hodge, την οποία αποφεύγουν τα περισσότερα αρχαία μεταπτυχιακά εγχειρίδια λόγω των τεχνικών λεπτοτήτων του διαχωρισμού των αυστηρά διαφορο-γεωμετρικών πτυχών από τις αλγεβρικές γεωμετρικές πτυχές. Οπότε αυτό που υπάρχει εδώ μέσα είναι πραγματικά πολύ καλό. (Είναι ενδιαφέρον ότι ο Taubes πιστώνει την επιρροή του στο βιβλίο ως το θρυλικό μάθημα του αείμνηστου Rauol Bott στο Χάρβαρντ. Τόσα πολλά πρόσφατα εγχειρίδια και σημειώσεις διαλέξεων για το θέμα πιστώνουν την πορεία του Bott με την έμπνευσή τους: Loring Tu’s Εισαγωγή στις πολλαπλέςσημειώσεις διάλεξης του Ko Honda στο USCD, Lawrence Conlon’s Διαφοροποιήσιμες πολλαπλές από τα πιο επιφανή. Είναι πολύ ταπεινό το πώς ένας ειδικός δάσκαλος μπορεί να ορίσει ένα θέμα για μια γενιά.)
Δυστυχώς, υπάρχουν 3 προβλήματα με το βιβλίο που το κάνουν λίγο απογοητευτικό και όλα έχουν να κάνουν με αυτό που δεν στο βιβλίο. Το πρώτο και πιο σοβαρό πρόβλημα με το βιβλίο του Taubes είναι ότι στην πραγματικότητα δεν είναι καθόλου σχολικό βιβλίο, είναι ένα σύνολο σημειώσεων διαλέξεων. Εχει μηδέν γυμνάσια. Πράγματι-το βιβλίο μοιάζει με το Oxford University Press μόλις πήρε την τελική έκδοση των διαδικτυακών σημειώσεων του Taubes και έβαλε ένα εξώφυλλο πάνω τους. Όχι ότι αυτό είναι απαραίτητα α κακό πράγμα, φυσικά – μερικές από τις καλύτερες πηγές που υπάρχουν για τη διαφορική γεωμετρία (και τα προχωρημένα μαθηματικά γενικά) είναι οι σημειώσεις διαλέξεων (οι κλασικές νότες του SSChern και του John Milnors έρχονται στο μυαλό). Αλλά για μαθήματα και κάτι για το οποίο θέλετε να πληρώσετε σημαντικά χρήματα – θέλετε πραγματικά λίγο περισσότερα από ένα τυπωμένο σύνολο σημειώσεων διαλέξεων που κάποιος θα μπορούσε να έχει κατεβάσει δωρεάν από τον Ιστό.
Είναι επίσης πολύ πιο δύσκολο να χρησιμοποιηθούν ως σχολικό βιβλίο, καθώς πρέπει να ψάξετε αλλού για ασκήσεις. Δεν νομίζω να υπάρχει αντίστοιχο σύνολο ασκήσεων από τον συγγραφέα που σχεδίασε το κείμενο Το να δοκιμάσεις την κατανόησή σου είναι πραγματικά πάρα πολύ για να ζητήσεις σε κάτι για το οποίο ξοδεύεις 30-40 δολάρια, έτσι δεν είναι; Είναι αυτό το πραγματικό κίνητρο πίσω από τις πολύ λεπτομερείς και σκεπτόμενες αναφορές για κάθε κεφάλαιο – οι μαθητές δεν ενθαρρύνονται απλώς να εξετάσουν μερικές από αυτές ταυτόχρονα, αλλά απαιτείται προκειμένου να βρουν τις δικές τους ασκήσεις; Αν ναι, θα έπρεπε όντως να έχει γραφτεί συγκεκριμένα και δείχνει κάποια τεμπελιά από την πλευρά του συγγραφέα. Όταν πρόκειται για ένα σύνολο σημειώσεων διαλέξεων που έχουν σχεδιαστεί για να πλαισιώνουν ένα πραγματικό μάθημα όπου ο εκπαιδευτής είναι εκεί για να καθοδηγήσει τους μαθητές στη βιβλιογραφία για ό,τι λείπει, αυτό λειτουργεί καλά. Στην πραγματικότητα, μπορεί να κάνει ακόμα πιο συναρπαστικό και παραγωγικό μάθημα για τους μαθητές. Αλλά αν γράφετε ένα εγχειρίδιο, πρέπει πραγματικά να είναι εντελώς αυτοτελές, ώστε όποιες άλλες αναφορές προτείνετε, να είναι αυστηρά προαιρετικός. Κάθε μάθημα είναι διαφορετικό και αν το βιβλίο δεν περιέχει τις δικές του ασκήσεις που περιορίζει σε τεράστιο βαθμό πόσο εξαρτημένο μπορεί να είναι το μάθημα από το κείμενο. Είμαι βέβαιος ότι η Taubes έχει όλα τα σετ προβλημάτων από τις διάφορες ενότητες του αρχικού μαθήματος – θα είχα δυνατά ενθαρρύνετέ τον να συμπεριλάβει ένα σημαντικό σύνολο από αυτά στη δεύτερη έκδοση.
Το δεύτερο πρόβλημα – αν και αυτό δεν είναι τόσο σοβαρό όσο το πρώτο – είναι ότι από έναν ερευνητή των διαπιστευτηρίων του Taubes, θα περίμενε κανείς λίγη περισσότερη δημιουργικότητα και διορατικότητα για το τι είναι καλό όλο αυτό το καλό υλικό. Εντάξει, φυσικά, αυτό είναι ένα κείμενο για αρχάριους και δεν μπορείτε να ξεφύγετε πολύ από το βασικό βιβλίο ή θα είναι άχρηστο ως βάση για μετέπειτα μελέτες. Τούτου λεχθέντος, ένα κεφάλαιο κλεισίματος που συνοψίζει την τρέχουσα κατάσταση του παιχνιδιού στη διαφορική γεωμετρία χρησιμοποιώντας όλα τα μηχανήματα που είχαν αναπτυχθεί – ιδιαίτερα στον τομέα της μαθηματικής φυσικής – θα βοηθούσε πολύ να δώσει στον αρχάριο μια συναρπαστική ματιά στην πρώτη γραμμή ενός μεγάλου κλάδο των καθαρών και εφαρμοσμένων μαθηματικών. Κάποιες φορές ξεφεύγει σε ωραίο πρωτότυπο υλικό που συνήθως δεν αγγίζεται σε τέτοια βιβλία: Για παράδειγμα, η μέτρηση Schwarzchild. Αλλά δεν δίνει καμία ένδειξη γιατί είναι σημαντικό ή είναι ο ρόλος του στη γενική σχετικότητα.
Τέλος – ουσιαστικά δεν υπάρχουν εικόνες στο βιβλίο. Κανένας. Μηδέν. Νάντα. Εντάξει, δεδομένου ότι πρόκειται για κείμενο μεταπτυχιακού επιπέδου και οι μεταπτυχιακοί φοιτητές θα πρέπει πραγματικά να ζωγραφίσουν τις δικές τους εικόνες. Αλλά για μένα, ένα από τα πράγματα που κάνει τη διαφορική γεωμετρία τόσο συναρπαστική είναι ότι είναι ένα τόσο οπτικό και σπλαχνικό θέμα: Έχει κανείς την αίσθηση σε ένα καλό μάθημα κλασικής DG ότι αν ήσουν αρκετά έξυπνος, θα μπορούσες να αποδείξεις σχεδόν τα πάντα με μια φωτογραφία . Η παροχή μιας εντελώς επίσημης, μη οπτικής παρουσίασης αφαιρεί μεγάλο μέρος αυτού του εννοιολογικού ενθουσιασμού και την κάνει να φαίνεται πολύ πιο στεγνή και λιγότερο ενδιαφέρουσα από ό,τι είναι στην πραγματικότητα. Σε εκείνη τη δεύτερη έκδοση, θα σκεφτόμουν να συμπεριλάβω μερικά οπτικά. Δεν χρειάζεται να προσθέσετε πολλά αν είστε καθαρολόγος. Αλλά μερικά, ιδιαίτερα στα κεφάλαια σχετικά με τις χαρακτηριστικές τάξεις και τις τομές δεσμίδων διανυσμάτων και ινών, θα διευκρίνιζαν πάρα πολύ αυτά τα μέρη.
Η τελική ετυμηγορία λοιπόν; Μια πολύ σταθερή πηγή από την οποία μπορείτε να μάθετε τη ΓΔ για πρώτη φορά σε μεταπτυχιακό επίπεδο, αλλά θα πρέπει να συμπληρωθεί εκτενώς για να καλυφθούν οι ελλείψεις. Ευτυχώς, κάθε κεφάλαιο συνοδεύεται από ένα πολύ καλό σύνολο αναφορών. Από αυτά μπορούν εύκολα να επιλεγούν καλή συμπληρωματική ανάγνωση και ασκήσεις. Θα συνιστούσα ανεπιφύλακτα το κλασικό του Guillemin και του Pollack Διαφορική Τοπολογία ως προκαταρκτική ανάγνωση, η «τριλογία» του John M.Lee για παράπλευρη ανάγνωση και ασκήσεις, το φοβερό κείμενο 2 τόμων προσανατολισμένο στη φυσική Πεδία Γεωμετρίας, Τοπολογίας και Μετρητών από τον Gregory Naber για συνδέσεις και εφαρμογές στη φυσική καθώς και πολλές καλές εικόνες και συγκεκριμένους υπολογισμούς. Για μια βαθύτερη παρουσίαση της σύνθετης διαφορικής γεωμετρίας, δοκιμάστε το κλασικό του Wells και το πιο πρόσφατο κείμενο Μιγαδική Διαφορική Γεωμετρία από τον Zhang. Με όλα αυτά για να επαινέσετε τον Taubes, θα είστε σε εξαιρετική φόρμα για έναν χρόνο στη σύγχρονη διαφορική γεωμετρία.